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本学期最后一堂课的笔记...就这样,每周上班的时候都没有惦念的了,我是有多么喜欢教室和课堂呀。或者说,真的是太习惯学校的生活方式了吧...
这一节主要是在上一节的基础上,介绍一些可加模型或者树模型的相关(改进)方法。
MARS全称为Multivarible Adaptive Regression Splines,看名字就能猜出来大致他是做啥的。MARS这家伙与CART一脉相承(话说CART的竞争对手就是大名鼎鼎的C4.5)。不过,还是先说一下MARS到底是怎么玩的吧。
数据集依旧记作 D={ (xi,yi),1≤i≤N}
,然后就是splines的思想:我们定义 C={ (xj−xji)+,(xij−xj)+,1≤j≤p,1≤i≤N} ,其中 (x−t)+={ x−t0,x≥t,else 和 (t−x)+={ t−x0,x≤t,else,画出图形来就是:
这样就可以定义I函数了: I(x≥t)={ 10,x≥t,else
,以及 I(t≥x)={ <br/><br/>10,t≥x,else,越来越有spines味道了是不是?
之后就是定义f函数: fJ(x)=∑Jj=1βjhj(x)
,然后有意思的就来了: hj(x) 是 C 中函数或者几个函数的乘积,选定了 hj(x) 之后我们就可以用最小二乘法来求解相应的 β 了。然后在接下来的每一步,我们都添加 βm+1h(x)(xj−xji)+βm+2h(x)(xji−xj)+⋯ 这样,一步步的, fJ(x)=∑Jj=1βjhj(x) 就开始增长。当我们用完了 hj(x)之后,显然有
over-fit的嫌疑,所以开始逐步的减少一些 hj(x)
——考虑移除那些对减少残差平方和贡献比较小的项目。沿着cross-validation的思路,就可以定义函数 GCV=∑Ni=1(yi−f^λ(xi))2(1−M(λ)/N)2。
PRIM的全称为Patient Rule Induction Method,呃看名字貌似是一种比较耐心的一步步递归的方法。果不其然,最开始就是我们要先定义“削皮”:选取 (0,1)
区间内任意的 α ,比如0.1,然后开始削皮~削皮的策略大概就是,选定一个维度,去掉这个维度比如最大10\%或者最小10\%的样本,然后看剩余部分的y均值有没有增长。总共有p个维度,所以我们有 2p 中削皮法。选择其中上升最高的方法,削皮。然后继续来一遍,直到不能再增长的时候,停止,最终得到一块“精华”(贪心的算法)。之后,我们又要开始粘贴,即再贴上去一块儿,看看是否能涨。这样我们得到一个 R1 区,区域均值为 β1。
从总体中扔掉这 R1
区中的样本,然后继续做下去,比如一共J次,得到J个区域(这些区域的空间可能是有交集的),这样的策略称为Bump-Hunting(肿块寻找),最终得到若干个区域,各区域中的样本均值作为 β(以第一次出现的空间为准)。
HME的全称为Hierarchical Mixture of Experts,听起来像是一个智囊团的感觉。画出来呢,就是一个树的形状。
大致的思想就是,以概率分配到各个枝条(软分类器),这样有 eγix∑leγix=P(j|x)
。对于最下面一层的expert
net,可以用分类树或者其他任何的分类器。对于HME,可用EM算法来解。两类的情形,就有 P(1|x)=eγ11xeγ11x+1
,有点像logit的变形有没有?
一句话的总结呢,就是这些方法看上去合理,比较容易follow the intuition,但是树类的结构弄得很难用现有的方法证明原理和一些相关性质(完全非线性呀)。
从第一章到第九章,我们探索了很多个模型。说到底,模型就是 y=f(x)
,然后我们有参数模型 y=f(x|θ) ,其中 θ∈Θ , x∈Rp。
最简单的来说,就是线性模型,形式为 f(x|θ)=xθ=∑θjxj
,其中 1≤j≤p。显然,线性模型便是参数模型。
然后就是广义线性模型(GLM),我们可以先扩张x,就有 f(x|θ)=∑Mm=1θmhm(x)x′sfunction=∑Mm=1θmXm~
。说到底,就是已知的 h(⋅) 把数据从 Rp 空间映射到一个新的 RM 空间。然后还可以把y再广义化,用一个可逆的已知函数 g(⋅) 变成 y~ 。这样,就有 y=g[∑Mm=1θmXm~]⇒ g−1(y)=∑Mm=1θmXm~ ,最终说来 Y~ 和 X~这两个空间实现了一种线性的映射关系。
接下来我们就会看到一种形状很类似的树模型,但不是GLM: f(x|T)=∑Mm=1I(x∈Rm)
。显然这里 Rm远非线性的,而且是变量。
接着参数化,我们就有 f(x|θ)=∑βmg(x|γm)
,若 γm 未知,即 g(⋅) 可变,则非GLM。这类的模型更适合的名字是:自适应基函数模型,即我们试图构造一些可以自适应的基函数,然后通过其线性组合构造最终的模型。这类模型经典如:树模型、GMM(高斯混合模型)、神经网络等。转载地址:http://zcvqj.baihongyu.com/